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位相幾何学における長い直線（ながいちょくせん、） もしくはアレキサンドロフ直線（アレキサンドロフちょくせん、）は、局所的には実数直線によく似ているが、大域的には「もっと長い」位相空間である。 長い直線は多様体の公理のうち、第二可算公理以外の全ての公理を満たす。（第二可算公理も満たす一次元多様体は R と ''S''1 のみである）。 == 定義 == 長い閉半直線 (closed long ray) ''L'' は、最小の非可算順序数 ω1と区間 [0, 1) との直積を台集合として、辞書式順序の誘導する順序位相をいれた位相空間として定義される。長い開半直線 (open long ray)は、''L'' から最小元 (0,0) を除いて得られる。 長い直線 (long line) は、直観的には互いに逆方向にのびる二つの長い半直線を端でつなげてできる。より厳密には、（逆順序を備えるという意味で）「逆向き」の長い開半直線と長い閉半直線との（集合論的）直和を台集合として、前者の元は必ず後者の元よりも小さいとして定まる全順序（から得られる順序位相）を備えた空間として得られる。あるいは、長い半開直線の二つの複写をとり、双方の長い直線上の開区間 × (0, 1) について、一方を他方に逆向きに張り合わせることによって得られる位相空間と言ってもよい。これはつまり、一方の長い直線上の（0 < ''t'' < 1 なる ''t'' に対する）点 (0, ''t'') と他方の長い直線上の点 (0, 1 − ''t'') とを同一視するような同値関係に関する商を考えるということである。前者の構成では、長い直線に入る順序関係がはっきりしていて、その位相が順序位相であるということがわかりやすいという利点がある。一方、後者の構成では位相的な議論がしやすいという点で有利である。 直観的には、長い閉半直線は一つの方向に「長い」ことを除いて閉半直線とよく似たものであり（長い閉半直線の一方の端は長く、他方の端は閉じている）、長い開半直線は一つの方向に「長い」ことを除いて開半直線（あるいは実数直線といってもいいが）とよく似ている（長い開半直線の一方の端は長く、他方の端は短くて開いている）。長い直線は実数直線よりも両端がともに長い。ただし、長い（閉あるいは開）半直線など、各種の長い空間を区別せずにひとくちに「長い直線」と呼ぶことも珍しくはない。ある種の例や反例としてこのような空間を考える際には、一方の端が「長い」ということに意味があって、もう一つの端が閉じていても開いていても、あるいは長くても短くても、そのような例や反例としては本質的に変わらないため、区別する必要が無いことも多いからである。 関連する空間として長い拡張半直線(extended long ray) ''L''∗ は、長い閉半直線 ''L'' に最大元を追加して得られる ''L'' の一点コンパクト化である。同様にして長い拡張直線 (extended long line) は、長い直線に最大元と最小元を一つずつ追加して得られる空間として定義することができる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「長い直線」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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