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===================================== 〔語彙分解〕的な部分一致の検索結果は以下の通りです。 ・ 超 ： [ちょう] 1. (n,n-suf,pref) super- 2. ultra- 3. hyper- ・ 超越 ： [ちょうえつ] 1. (n,vs) transcendental ・ 拡大 ： [かくだい] 1. (n,vs) magnification 2. enlargement
抽象代数学において、体の拡大 ''L''/''K'' は次を満たすときに代数的（）であると言う。''L'' のすべての元は ''K'' 上である、すなわち、''L'' のすべっての元は ''K'' 係数のある 0 でない多項式の根である。代数的でない体の拡大、すなわち超越元を含む場合は、超越的（transcendental）と言う。 例えば、体の拡大 R/Q、すなわち有理数体の拡大としての実数体は、超越的であるのに対し、体の拡大 C/R や Q(√2)/Q は代数的である。ただし C は複素数体である。 すべての超越拡大は無限次元の拡大である。言い換えるとすべての有限次拡大は代数的ということになる〔See also Hazewinkel et al. (2004), p. 3.〕。しかしながら逆は正しくない。無限次代数拡大が存在する。例えば、代数的数体は有理数体の無限次代数拡大である。 ''a'' が ''K'' 上代数的であれば、''K'' 係数の ''a'' による多項式全体の集合 ''K'' は環であるだけでなく体である。''K'' 上有限次の代数拡大である。特別な場合として、''K'' = Q が有理数体のときは、Q は代数体の例である。 非自明な代数拡大をもたない体は代数的閉体と呼ばれる。例は複素数体である。すべての体は代数的閉であるような代数拡大をもつ（これは代数的閉包と呼ばれる）が、これを一般に証明するには選択公理が必要である。 拡大 ''L''/''K'' が代数的であることと ''L'' のすべての部分 ''K''-代数が体であることは同値である。 == 性質 == 代数拡大のクラスは をなす。すなわち、以下の3つの性質が成り立つ〔Lang (2002) p.228〕。 # ''E'' が ''F'' の代数拡大であり ''F'' が ''K'' の代数拡大であれば、''E'' は ''K'' の代数拡大である。 # ''E'' と ''F'' が共通の overfield ''C'' において ''K'' の代数拡大であれば、合成体（compositum）''EF'' は ''K'' の代数拡大である。 # ''E'' が ''F'' の代数拡大で ''E''>''K''>''F'' であれば、''E'' は ''K'' の代数拡大である。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「代数拡大」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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