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数学において、フォン・ノイマン正則環（）とは、環 ''R'' であって、任意の ''a'' ∈ ''R'' に対してある ''x'' ∈ ''R'' が存在し、''a'' = ''axa'' となるようなものである。可換環論における正則環や正則局所環との混乱を避けるため、フォン・ノイマン正則環は絶対平坦環 (absolutely flat ring) とも呼ばれる。なぜならば、フォン・ノイマン正則環は任意の左加群が平坦であるような環として特徴づけられるからである。 ''x'' を ''a'' の"" (weak inverse) と考えることができる。一般に ''x'' は ''a'' によって一意には決まらない。 フォン・ノイマン正則環は によって"正則環"という名前でフォン・ノイマン多元環や連続幾何の研究中に導入された。 環の元 ''a'' は ''a'' = ''axa'' となるような ''x'' が存在するときにフォン・ノイマン正則元と呼ばれる。イデアル はフォン・ノイマン正則な非単位的環であるとき、すなわち の任意の元 ''a'' に対し の元 ''x'' が存在し ''a'' = ''axa'' となるとき（フォン・ノイマン）正則イデアルと呼ばれる。 == 例 == すべての体（とすべての可除環）はフォン・ノイマン正則である。 に対して ととれる〔。整域がフォン・ノイマン正則であることと体であることは同値である。 フォン・ノイマン正則環の別の例は体 ''K'' の元を成分にもつ ''n'' 次全行列環 M''n''(''K'') である。''r'' を のランクとすれば、可逆行列 ''U'' と ''V'' が存在して : となる（ただし ''I''''r'' は ''r'' 次単位行列）。 とおけば、 : である。より一般に、フォン・ノイマン正則環上の行列環は再びフォン・ノイマン正則環である〔。 有限フォン・ノイマン環の の環はフォン・ノイマン正則である。 ブール環はすべての元が を満たすような環である。すべてのブール環はフォン・ノイマン正則である。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「フォン・ノイマン正則環」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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