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微分幾何学において、擬リーマン多様体(pseudo-Riemannian manifold)〔, p. 172.〕〔, p. 208〕（また、半リーマン多様体(semi-Riemannian manifold)ともいう）は、リーマン多様体の一般化であり、そこでは計量テンソルが必ずしも(positive-definite)でないこともある。代わって、非退化というより弱い条件が、計量テンソルへ導入される。 一般相対論で極めて重要な多様体として、ローレンツ多様体(Lorentzian manifold)があり、そこでは、一つの次元が他の次元とは反対の符号を持っている。このことは、接ベクトルが時間的、光的、空間的〔それぞれ、timelike, null (lightlike), spacelike の訳である。〕へと分類される。時空は 4次元ローレンツ多様体としてモデル化される。 == 始めに == === 多様体 === 微分幾何学において、微分可能多様体は、局所的にはユークリッド空間と同じ空間である。n-次元ユークリッド空間では、任意の点が n 個の実数により特定される。これらを点の座標と呼ぶ。 n-次元微分可能多様体は、n-次元ユークリッド空間の一般化である。多様体では、局所的に座標を定義することができる。このことは(coordinate patch)が達成できて、多様体の部分集合は n-次元ユークリッド空間へ写像することができる。 詳細は、多様体, 微分可能多様体, (coordinate patch)を参照。
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