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数学において、体 ''F'' 上の四元数代数または四元数環（しげんすうかん、）は ''F'' 上 4-次元の中心的単純環 ''A'' である〔補題〕〔 2章、exercise 17〕。簡単に ''F''-四元数環などとも呼ぶ。任意の四元数環は、その係数拡大（拡大体とのテンソル積）によって二次の全行列環になる。すなわち、基礎体 ''F'' の適当な拡大体 ''K'' を取れば : なる同型が成立する。 四元数環の概念は、古典的なハミルトンの四元数の概念を一般の体上に拡張したものと見ることができる。''F'' = R（実数体）としたときの ''F''-四元数環がハミルトンの四元数体であり、それは R 上の二次全行列環ではない四元数環として同型を除いて唯一のものである。 == 構造 == ここでいう「四元数環」はハミルトン型の一般四元数の成す多元環よりももう少し広い意味になっている。基礎体 ''F'' の標数が 2 でない場合、''F'' 上の任意の四元数環は 4-次元の ''F''-線型空間として、基底 に乗法規則 :''i''2 = ''a'', ''j''2 = ''b'', ''ij'' = ''k'', ''ji'' = −''k'' を課したものとして記述することができる。ただし、''a'', ''b'' は所与の ''F'' の零でない元とする。少し計算すれば ''k''2 = −''ab'' となることがわかる（ハミルトンの四元数は ''F'' = R, ''a'' = ''b'' = −1 の場合）。''F'' の標数が 2 の場合も先ほどと異なる基底を用いた明示的な記述をすることはできる。しかし、様々な事象において標数に依らずに一様な記述を適用するには、''F'' 上 4-次元の中心的単純環として ''F''-四元数環を定義したほうが都合がよい。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「四元数環」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Quaternion algebra 」があります。 スポンサード リンク
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