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代数体（だいすうたい、）とは、有理数体の有限次代数拡大体のことである。代数体 ''K'' の有理数体上の拡大次数 を、''K'' の次数といい、次数が ''n'' である代数体を、''n'' 次の代数体という。 特に、2次の代数体を二次体、1のベキ根を添加した体を円分体という。 ''K'' を ''n''次の代数体とすると、''K'' は単拡大である。つまり、''K'' の元 θ が存在して、''K'' の任意の元 α は、以下の様に表される。 このとき θ は ''n'' 次の代数的数であるので、''K'' を 上のベクトル空間とみたとき、 は基底となる。 == 整数環 == ''n'' 次の代数体 ''K'' に含まれる代数的整数全体の集合を とすると、以下のことが成立する。 # は整域である。このことより、を ''K'' の整数環 (ring of integers) という。 # は、有理整数環上ランク ''n'' の自由加群である。つまり、 の元、 が存在して、任意の の元 α は、以下の形に一意的に表される。 。但し、 は有理整数。 上記 を ''K'' の整基底 (integral basis) または整数基という。 # は整閉である。つまり、''K'' の元 β に対して、 となる ''K'' の元 が存在するならば、β は、 の元である。 # はデデキント環である。 # 一般に、 は一意分解整域ではない。 特別な代数体の整数環については、その数論的性質が詳しく研究されており、特別な名称が付けられている。 ; ガウス整数 : の整数環、 のことである。 ; アイゼンシュタイン整数 : の整数環、 のことである。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「代数体」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Algebraic number field 」があります。 スポンサード リンク
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