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数学、特に抽象代数学において、体 ''K'' の代数的閉包（だいすうてきへいほう、）は、代数的に閉じている ''K'' の代数拡大である。数学においてたくさんある閉包のうちの1つである。 ツォルンの補題を使って、すべての体は代数的閉包をもつ〔McCarthy (1991) p.21〕〔M. F. Atiyah and I. G. Macdonald (1969). ''Introduction to commutative algebra''. Addison-Wesley publishing Company. pp. 11-12.〕〔Kaplansky (1972) pp.74-76〕ことと、体 ''K'' の代数的閉包は ''K'' のすべての元を固定するような同型の違いを除いてただ1つであることを証明できる。この本質的な一意性のため、''an'' algebraic closure of ''K'' よりむしろ ''the'' algebraic closure of ''K'' と呼ばれることが多い。 体 ''K'' の代数的閉包は ''K'' の最大の代数拡大と考えることができる。このことを見るためには、次のことに注意しよう。''L'' を ''K'' の任意の代数拡大とすると、''L'' の代数的閉包は ''K'' の代数的閉包でもあり、したがって ''L'' は ''K'' の代数的閉包に含まれる。''K'' の代数的閉包はまた ''K'' を含む最小の代数的閉体でもある。なぜならば、''M'' が ''K'' を含む任意の代数的閉体であれば、''K'' 上代数的な ''M'' の元全体は ''K'' の代数的閉包をなすからだ。 体 ''K'' の代数的閉包の濃度は、''K'' が無限体ならば ''K'' と同じで、''K'' が有限体ならば可算無限である〔。 == 例 == * 代数学の基本定理により、実数体の代数的閉包は複素数体である。 * 有理数体の代数的閉包は代数的数体である。 * 代数的数体を真に含み複素数体に含まれる代数的閉体は可算個存在する。これらは有理数体の超越拡大の代数的閉包である。例えば Q(π) の代数的閉包。 * 元の個数が素数のベキ ''q'' である有限体の代数的閉包は可算無限の濃度をもつ体であって、各正整数 ''n'' に対して位数 ''q''''n'' の体のコピーを含む（実はこれらのコピーの和集合である）〔.〕。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「代数的閉包」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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