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数学において、低次元トポロジー(low-dimensional topology)は、トポロジーの一分野で、4次元、あるいはそれ以下の次元の多様体の研究をする。低次元トポロジーで扱われるトピックは、(3-manifold)や 4次元多様体の構造論、結び目理論、ブレイド群などがある。低次元トポロジーは幾何学的トポロジーの一部と見なすことができる。 ==歴史== 1960年代に始まった多くのトポロジーの発展は、トポロジーが低次元で重要であることを示した。1961年のスティーヴン・スメイル(Steven Smale)による高次元でのポアンカレ予想の解決は、3次元と 4次元が最も難しい問題であると思わせるに充分であった。実際、3次元や 4次元では、新しい方法が要求され、一方、高次元での自由度は(surgery theory)を計算機的な方法で（低次元へ）還元することができることを意味した。後日、1970年代にウィリアム・サーストン(William Thurston)により定式化された幾何化予想では、低次元では幾何学とトポロジーが密接に関係することを示唆するフレームワークが提供され、サーストンのハーケン多様体についての幾何化予想の証明は、以前は関連の薄かった数学分野からくる多様体のツールが用られた。1980年代初期のヴォーン・ジョーンズ(Vaughan Jones)によるジョーンズ多項式の発見は、結び目理論に新しい方向性をもたらしたのみならず、低次元トポロジーと数理物理学の間のミステリアスな関係性を呼び起こした。2002年のグレゴリー・ペレルマン(Grigori Perelman)は、リチャード・ハミルトン(Richard Hamilton)のリッチフローという(geometric analysis)分野のアイデアを使い、3次元ポアンカレ予想の証明を言明した。 すべてのこれらの前進は、残りの他の数学の分野へより良い影響をもたらした。
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