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数学、具体的には現代代数学や可換環論において、中山の補題（、クルル-東屋の定理（Krull–Azumaya theorem）とも）は、環（典型的には可換環）のジャコブソン根基とその有限生成加群の間の相互関係を定める。インフォーマルには、補題より直ちに可換環上の有限生成加群は体上のベクトル空間のように振る舞うことが言える。これは代数幾何において重要な道具である、なぜならばそれによって代数多様体の局所的なデータを、局所環上の加群の形において、環の剰余体上のベクトル空間として各点ごとに研究することができるからである。 この補題は、まず によって可換環のイデアルの特殊な場合において発見され、次に一般の場合が東屋五郎 (1951)によって発見されたにも関わらず、日本人数学者中山正にちなんで名づけられている〔; 〕。可換の場合には、補題はケイリー・ハミルトンの定理を一般化した形の単純な帰結であり、これは Michael Atiyah (1969) に書かれている。非可換なときの右イデアルに対する補題の特別な場合は (1945) にあり、そのため非可換な中山の補題はジャコブソン-東屋の定理 (Jacobson–Azumaya theorem) と呼ばれることもある〔。後者はジャコブソン根基の理論にたくさんの応用をもっている。 == 補題の主張 == ''R'' を単位元 1 をもった可換環とする。 で述べられているように、以下が中山の補題である。 主張 1： ''I'' を ''R'' のイデアルとし、''M'' を ''R'' 上有限生成加群とする。''IM'' = ''M'' であれば、''r'' ≡ 1 (mod ''I'') であるような ''r'' ∈ ''R'' が存在して、''rM'' = 0 となる。 これは以下で証明される。 この系である次もまた中山の補題と呼ばれ、最もよく現れるのはこの形においてである〔; 〕。 主張 2： ''M'' が ''R'' 上有限生成加群で、''J''(''R'') が ''R'' のジャコブソン根基で、''J''(''R'')''M'' = ''M'' とすると、''M'' = 0 である。 :''証明''：（上記の様な ''r'' に対し）''r'' − 1 はジャコブソン根基に入るので ''r'' は可逆である。 より一般的に、次が成り立つ。 主張 3： ''M'' が ''R'' 上有限生成加群で、''N'' が ''M'' の部分加群で、''M'' = ''N'' + ''J''(''R'')''M'' であれば、''M'' = ''N'' である。 :''証明''： 主張 2 を ''M''/''N'' に適用する。 次の結果は生成元の言葉で中山の補題を述べている。 主張 4： ''M'' が ''R'' 上有限生成加群であり、''M'' の元 ''m''1, ..., ''m''''n'' の ''M''/''J''(''R'')''M'' における像が ''M''/''J''(''R'')''M'' を ''R''-加群として生成すれば、''m''1, ..., ''m''''n'' は ''M'' を ''R''-加群として生成する。 :''証明''： 主張 3 を ''N'' = Σi''Rm''''i'' に適用する。 最後の系の結論は、前もって ''M'' が有限生成であると仮定しなくても、''I''-進位相について ''M'' が完備かつ分離加群であると仮定すれば、成り立つ。ここで分離性は ''I''-進位相が''T''1分離公理を満たすことを意味する。これは と同値である。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「中山の補題」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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