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ヴェイユ予想(Weil conjectures)は、有限体上の代数多様体の上にある点を数えることから導出される（合同ゼータ函数として知られる）母函数についての、非常に広い範囲に影響のある提案で、によりなされた。 q 個の元を持つ有限体上の多様体 V は、qk 個の元を持つ全ての有限体の点と同様に、有限個の有理点を持っている。母函数は、qk の元を持つ(本質的には一意的な）体上の数 Nk から導出される係数を持っている。 ヴェイユは、そのようなゼータ函数は有理函数であり、函数等式の形を満たし、ゼロ点が限られた中にあるはずであることを予想した。最後の 2つの点はリーマンゼータ函数やリーマン予想でモデル化されたものと非常によく似ている。有理性はにより証明され、函数等式はにより証明され、リーマン予想の類似はにより証明された。 ==背景と歴史== ヴェイユ予想に関連する最も早い段階の予想は、カール・フリードリヒ・ガウス(Carl Friedrich Gauss)によるもので、彼の著書 ''Disquisitiones Arithmeticae'' のセクション VII に現れていて、1のべき根と(Gaussian period)に関連している。論文の 358 では、二次拡大の塔の構成である周期から正多角形を構成へと変更し、p は が 3 で割り切れるような素数を前提としていた。従って、1のべき根で p 番目の根の円分体に含まれる(Cyclic cubic field)と、この体の整数の周期の(normal integral basis)が存在する（(Hilbert–Speiser theorem)の例）ことになる。ガウスの構成したものは、位数 3 の周期であり、乗法の下で mod p の 0 ではない剰余の作る巡回群 (Z/pZ)× が唯一存在し、指数 3 の部分群に対応する。ガウスは、, , をコセットとして、これらのコセットに対応する周期（1のべき根の和）をとることを exp(2πi/p) へ適用し、これらの周期が計算可能な乗法テーブルを持つことを注意した。ガウスは積が周期の線型結合であることを示し、結合の係数を決定した。例えば、 は、 の中の Z/pZ の元の数に等しく、一つ増やすと再び の中にある。彼はこの数が周期の積の係数であることを証明した。これらの集合とヴェイユ予想の関係を知るためには、α と が両方とも に属せば、x と y が Z/pZ の中に存在し、x3 = α と y3 = α + 1 となり、結局、x3 + 1 = y3 となることに注意すると、 が、有限体 Z/pZ での x3 + 1 = y3 の解の個数となる。他の係数も同様な解釈を持つ。従って、周期の積の係数を決定したことは、楕円曲線上の点の数を数え上げたこととなり、副産物としてリーマン予想の類似を証明したこととなる。
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