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ホッジ理論 : ミニ英和和英辞書
ホッジ理論[ほっじりろん]
=====================================
〔語彙分解〕的な部分一致の検索結果は以下の通りです。

: [り]
 【名詞】 1. reason 
理論 : [りろん]
 【名詞】 1. theory 
: [ろん]
 【名詞】 1. (1) argument 2. discussion 3. dispute 4. controversy 5. discourse 6. debate 7. (2) theory 8. doctrine 9. (3) essay 10. treatise 1 1. comment

ホッジ理論 : ウィキペディア日本語版
ホッジ理論[ほっじりろん]

数学におけるホッジ理論(ホッジりろん、 )とは、にその名を因む、可微分多様体 上の微分形式を研究する一理論である。より精確に述べるならば、ホッジ理論により 上の実係数コホモロジー群に対する結果を、 上のリーマン計量に付随する(一般化された)ラプラス作用素に関する偏微分方程式論としてうまく扱うことができる。
1930年代にホッジによってド・ラームコホモロジーの拡張として開発され、3つのレベルで大きな応用を持っている。
*リーマン多様体
*ケーラー多様体
*複素射影多様体の代数幾何学、より広くはモチーフ
最初に研究されたことは、M を閉多様体(つまり、境界を持たないコンパクトな多様体)として取った場合であった。その後、上記の3つのレベルで小平邦彦によって取り上げられ(日本で、さらにプリンストンでヘルマン・ワイルの影響の下で)、他の多くへ非常に大きな影響力を持つ理論となった。
==応用と例==

===ド・ラームコホモロジー===

ホッジ理論の(ホッジによる)もともとの定式化は、ド・ラーム複体に対するものである。 はコンパクトで向き付け可能な多様体で滑らかな計量 を持つものとし、 は 上の -次の微分形式とすれば、微分作用素の成す系列
: 0\rightarrow \Omega^0(M) \xrightarrow \Omega^1(M)\xrightarrow \cdots\xrightarrow \Omega^n(M)\xrightarrow 0
はド・ラーム複体と呼ばれる。ここに、 は 上の外微分を表す。このとき、ド・ラームコホモロジーとは
: H^k(M)=\ker d_k/\operatornamed_
で定義されるベクトル空間の系列のことである。と呼ばれる外微分 の形式的な随伴 を以下のように定義することができる。つまり、 は計量の誘導する 上の内積として、任意の に対して、
: \int_M \langle d\alpha,\beta\rangle_ \,dV = \int_M\langle\alpha,\delta\beta\rangle_k \,dV
を満足するものとして定めるのである。このとき、微分形式の空間上のラプラシアンは と定義され、調和形式の空間
:\mathcal_\Delta^k(M)=\
が定義できるようになる。d\mathcal H_\Delta^k(M)=0 ゆえ自然な写像 \varphi\colon\mathcal_\Delta^k(M)\to H^k(M) が存在する。ホッジのもともとの定理の最初の部分では、この がベクトル空間の同型であることが述べられている。つまり、 上の各ド・ラームコホモロジー類の代表元として、調和形式が一意的に取れる。
このことから得られるめぼしい帰結は、コンパクト多様体上のド・ラームコホモロジー群が有限次元となることである。これは作用素 が楕円型であり、コンパクト多様体楕円型作用素の核が必ず有限次元ベクトル空間となることから従う。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
ウィキペディアで「ホッジ理論」の詳細全文を読む




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