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ペアノの公理（ペアノのこうり、） とは、自然数全体を公理化したものである。1891年に、ジュゼッペ・ペアノによって定義された。 == 定義 == ペアノの公理は以下の様に定義される。 自然数は次の5条件を満たす。 *自然数 0 が存在する。 *任意の自然数 ''a'' にはその後者 (''successor'')、suc(''a'') が存在する（suc(''a'') は ''a'' + ''1'' の "意味"）。 *0 はいかなる自然数の後者でもない（0 より前の自然数は存在しない）。 *異なる自然数は異なる後者を持つ：''a'' ≠ ''b'' のとき suc(''a'') ≠ suc(''b'') となる。 *0 がある性質を満たし、''a'' がある性質を満たせばその後者 suc(''a'') もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。 5番目の公理は、数学的帰納法の原理である。 また、後述するとおり集合論における標準的な構成では、0 を空集合として定義する。 さらに形式的には、ペアノシステム (''X'', ''x'', ''f'') を次の条件を満たす順序つきの三つ組みとして定義する。 *''X'' は集合、 ''x'' は ''X'' の元、''f'' は ''X'' からそれ自身への写像 *''x'' は ''f'' の値域にはない *''f'' は単射である *もし ''X'' の部分集合 ''A'' が *''x'' は ''A'' に含まれる *もし ''a'' が ''A'' に含まれるなら ''f''(''a'') も ''A'' に含まれる :: を満たすならば、 ''A'' = ''X'' である。 ペアノの公理は以下の図にまとめることができる: : ここで、各 ''f''(''x''), ''f''( ''f''(''x'') ), ''f''( ''f''( ''f''(''x'') ) ), ... は明確に区別可能。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ペアノの公理」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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