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ベル数 : ウィキペディア日本語版
ベル数[べるすう]

ベル数(ベルすう、)は、''n''個のものを分割(もしくはグループ化)する方法の総数にあたる数である。''n''番目のベル数を B''n'' とし、B0 = B1 = 1 と定義する。Eric Temple Bell にちなんで名付けられた。例えば 3個のものをグループ化する方法の総数は5通り(後述)であるので 3番目のベル数 B3は5である。
ベル数を1から小さい順に列記すると
:1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, 678570, 4213597, 27644437, 190899322, 1382958545, 10480142147, 82864869804, 682076806159, 5832742205057, 51724158235372, 474869816156751, 4506715738447323, 44152005855084346 …()
== 計算例と性質 ==
a, b, c の3つの要素を各要素の順番を問わずグループ化する方法は
:, ,
:,
:,
:,
:
の5通りである。よって B3 = 5 となる。a, b の2つの要素なら
:,
:
の2通りであり、B2 = 2。同様に B1 = 1 であり、B0空集合(0個の要素)をグループ化すると考えて B0 = 1 とする。
要素の分割の方法とベル数の関係を考える。例えば3個のボール a, b, c を箱に入れる方法は次の通りである。
* a, b, c の3つとも別々の箱に入れる。
* a を一つの箱に、b と c を別の一つの箱に入れる。
* b を一つの箱に、a と c を別の一つの箱に入れる。
* c を一つの箱に、a と b を別の一つの箱に入れる。
* a, b, c の3つとも一つの箱に入れる。
要素が3つのときは5通りの分割の方法があり、これは B3 = 5 に対応している。
''n'' 番目のベル数 B''n'' は以下の漸化式で与えられる。
:B_=\sum_^
:二項係数で、組み合わせの記号を使えば _C_\quad に等しい。ここから以下の式が導かれる。
:B_n=\frac\sum_^\infty \frac
また素数を ''p'' とおくと次式が成り立つ。
:B_\equiv B_n+B_\ (\operatorname\ p)

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
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