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実解析においてベルヌーイの不等式（ベルヌーイのふとうしき、Bernoulli's inequality）とは、 1 + ''x'' の冪乗に対して近似を与える不等式である。数学者のヤコブ・ベルヌーイにちなんでこの名で呼ばれている。 任意の整数 ''r'' ≥ 0 と全ての実数 ''x'' ≥ −1 に対し、次が成立する。 : 指数 ''r'' が偶数の場合、この不等式は全ての実数 ''x'' に対して成り立つ。さらに厳しい条件のものとしては、任意の整数 ''r'' ≥ 2 と全ての実数 ''x'' ≥ −1 （ただし、''x'' ≠ 0）に対し、次が成立する。 : ベルヌーイの不等式は他の不等式を証明する際に重要な場面で用いられることがある。これは以下に示すように、数学的帰納法を使って証明することができる。 == 不等式の証明 == ''r'' = 0 のとき、 : となり、これは 1 ≥ 1 なので与式は成立する。 次に、''r'' = ''k'' の場合に与式が成立すると仮定する。 : この両辺に ( 1 + ''x'' ) をかければ、( 1 + ''x'' ) ≥ 0 なので : となる。右辺 = 1 + (''k'' + 1)''x'' + ''kx''2 ≥ 1 + (''k'' + 1)''x'' である（''kx''2 ≥ 0 なので）。したがって、 (1 + ''x'')''k'' + 1 ≥ 1 + (''k'' + 1)''x'' となり、 ''r'' = ''k'' + 1 の場合でも与式が成立することが示され、数学的帰納法により全ての ''r''に対して成立することが示された。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ベルヌーイの不等式」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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