ハーディ空間について

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ハーディ空間：ミニ英和和英辞書

ハーディ空間[はーでぃくうかん]
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〔語彙分解〕的な部分一致の検索結果は以下の通りです。

・ー： [ちょうおん]
　(n) long vowel mark (usually only used in katakana)
・空： [そら]
　【名詞】 1. sky　2. the heavens　
・空間： [くうかん]
　【名詞】 1. space　2. room　3. airspace　
・間： [けん, ま]
　【名詞】 1. space　2. room　3. time　4. pause　

ハーディ空間：ウィキペディア日本語版

ハーディ空間[はーでぃくうかん]
数学の複素解析の分野におけるハーディ空間（ハーディくうかん、）あるいはハーディ級（Hardy class）''H^p'' とは、単位円板あるいは上半平面上のある種の正則函数の空間のことを言う。リース・フリジェシュによって導入され、その名は論文の著者であるゴッドフレイ・ハロルド・ハーディにちなむ。実解析におけるハーディ空間は、（超函数の意味で）複素ハーディ空間の正則函数の境界値であるような、実数直線上のある超函数からなる空間で、函数解析学におけるLp空間と関係する。1 ≤ ''p'' ≤ ∞ に対し、それら実ハーディ空間 ''H^p'' は ''L^p'' の部分集合であるが、''p'' < 1 に対して ''L^p'' はいくつか望ましくない性質を持つ一方、ハーディ空間はより良い振る舞いをする。
複素数の場合の上の正則函数や、実数の場合の R^''n'' 上の超函数の空間など、高次元の一般化がいくつか存在する。
ハーディ空間には解析学それ自身において多くの応用が存在すると共に、制御理論（H∞制御理論など）や散乱理論においても多くの応用が存在する。
== 単位円板に対するハーディ空間 ==

開単位円板上の正則函数の空間に対し、ハーディ空間 ''H''² は、半径 ''r'' の円周上の平均二乗値が ''r'' → 1 の時に下から有界となるような函数から構成される空間となる。
より一般に、0 < ''p'' < ∞ に対するハーディ空間 ''H^p'' は、次を満たす開単位円板上の正則函数 ''f'' のクラスとなる：
:

\sup_\left(\frac \int_0^\left|f \left (re^\right )\right|^p \; \mathrm\theta\right)^\frac<\infty.

このクラス ''H^p'' はベクトル空間である。この不等式の左辺の数は、''f'' に対するハーディ空間の ''p''-ノルムであり、

\|f\|_

と記述される。これは ''p'' ≥ 1 のときはノルムであるが、0 < ''p'' < 1 のときはノルムとならない。
''H''^∞ は円板上の有界正則函数からなるベクトル空間として定義され、そのノルムは
:

\|f\|_ = \sup_ \left|f(z)\right|

となる。0 < p ≤ q ≤ ∞ に対し、クラス ''H^q'' は ''H^p'' の部分集合であり、''H^p''-ノルムは ''p'' について増加である（これは ''L^p''-ノルムが確率測度、すなわち総質量が 1 である測度に対して増加であるというヘルダーの不等式による）。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
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