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ジョン・フォーブス・ナッシュ (John Forbes Nash) の名に因んだナッシュの埋め込み定理 (Nash embedding theorems (or imbedding theorems)) は、すべてのリーマン多様体はユークリッド空間の中へ等長に埋め込むことができるという定理である。等長とは、すべてのの長さが保存されることを意味する。例えば、紙のページを引き伸ばしたり破ったりすることなしに折り曲げると、ページのユークリッド空間へのになる。ページに描かれた曲線はページが折り曲げられても同じ長さのままであるからだ。 第一の定理は、連続微分可能な（''C''1 級の）埋め込みに対するものであり、第二の定理は、解析的な埋め込みと、3 ≤ ''k'' ≤ ∞ に対して ''Ck'' 級の滑らかさを持つ埋め込みに関するものである。これらの 2つの定理は、互いに非常に異なっている。第一の定理は非常に容易に証明でき、非常に反直感的な結果を導くが、一方第二の定理の証明は非常に技巧的であるが結果はそれほど驚くようなものではない。 ''C''1 定理は1954年に、''Ck'' 定理は1956年に出版された。実解析的な定理は最初ナッシュにより1966年に扱われた。彼の議論は により非常に簡素化された。（この結果の局所版は、1920年代にエリ・カルタン (Élie Cartan) と (Maurice Janet) により証明された。）実解析的な場合は、ナッシュの逆関数の議論における smoothing operator（以下を参照）を、コーシーの評価に取り替えることができる。''Ck'' の場合のナッシュの証明は、後に、 (h-principle) や (Nash–Moser implicit function theorem) へ拡張された。第二のナッシュの埋め込み定理の簡素化された証明は、 により得られた。彼は非線型偏微分方程式系を楕円系に帰着させ、が適用できるようにした。 == ナッシュ･クーパーの定理（''C''1 埋め込み定理）== 定理 (''M'', ''g'') をリーマン多様体とし、ƒ: ''Mm'' → R''n'' をユークリッド空間 R''n'' の中への(short) ''C''∞ 級埋め込み（あるいははめ込み）とする。ただし ''n'' ≥ ''m'' + 1．すると、任意の ε > 0 に対し、埋め込み（あるいははめ込み）ƒε: ''Mm'' → R''n'' であって以下の条件を満たすものが存在する。 :(i) ''C''1 級である。 :(ii) 等長的である：''M'' の点 ''x'' における接空間 ''TxM'' の任意の 2つのベクトル ''v'', ''w'' に対して、 ::: :(iii) ƒ に ε-close である： :::任意の ''x'' ∈ ''M'' に対し、 特に、より、任意の ''m'' 次元リーマン多様体は、2''m'' 次元ユークリッド空間の任意に小さい近傍の中への等長な ''C''1-埋め込みを持つ。 定理は、元々はジョン・ナッシュにより、''n'' ≥ ''m''+1 ではなく ''n'' ≥ ''m'' + 2 という条件のもとで証明され、(Nicolaas Kuiper)により、比較的容易なトリックを使い一般化された。 定理から直感に反することが多く出る。たとえば、任意の向き付けられた閉リーマン面は、3次元ユークリッド空間の任意に小さいε-球の中へ等長的に ''C''1 級に埋め込むことができる（小さな ε に対し、そのような ''C''2 級埋め込みは存在しない。なぜならば、ガウス曲率の公式により、そのような埋め込みの extremal point における曲率は ε−2 以上となるからである）。また、R3 の中への双曲平面の ''C''1 等長埋め込みが存在する。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ナッシュの埋め込み定理」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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