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数学におけるティッツ系（てぃっつけい、Tits system）あるいは (''B'', ''N'')-対は、ある種の群に対してそれまで個別に与えられていた多くの証明を統一的に取り扱うためにジャック・ティッツによって導入された、リー型の群上のある種の構造である。ティッツ系を備えた群は、体上の一般線型群と「だいたい」同じようなものと見なせる。 == 定義 == 以下の公理を満たす群 ''G'' とその部分群の組 (''G'', ''B'', ''N'', ''W'' = <''R''>) をティッツ系という。またこのとき、群 ''G'' はBN対あるいは (''B'', ''N'')-対を持つという。 # ''B'', ''N'' は ''G'' の部分群で ''B'' ∪ ''N'' は ''G'' を生成する。 # ''H'' = ''B'' ∩ ''N'' は ''N'' の正規部分群。 # ''W'' = ''N''/''H'' は、対合から成る有限生成系 ''R'' を持つ。 # ''r'' ∈ ''R'', ''w'' ∈ ''W'' ならば ''rBw'' ⊂ ''BwB'' ∪ ''BrwB'' が成り立つ。 # ''r'' ∈ ''R'' ならば ''rBr'' ≠ ''B'' （任意の生成元は ''B'' を正規化しない）。 ''B'' は ''G'' の（狭義の）ボレル部分群、''H'' は ''G'' のカルタン部分群、''W'' は ''G'' のワイル群と呼び、''W'' の生成系 ''R'' は ''W'' の優生成系あるいはルート系と呼ばれる。また、''R'' の元はルートあるいは鏡映という。ワイル群はコクセター群を成し、特に生成系 ''R'' の位数をBN対あるいはワイル群 ''W'' の階数と呼ぶ。 (''G'', ''B'', ''N'', ''W'') がティッツ系ならば、''W'' のルート系 ''R'' は ''B'', ''N''（および ''G''）によって一意に決定される。これはティッツ系をBN対と呼ぶ所以でもある。 定義における ''B'' は一般線型群 ''GL''''n''(''K'') の上半三角行列全体の成す群の類似であり、同じく ''H'' は対角行列の、''N'' は ''H'' の正規化群のそれぞれ類似対応物である。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ティッツ系」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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