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線型代数学における内積（ないせき、英:Inner product）は、（実または複素）ベクトル空間上で定義される非退化かつ正定値の対称双線型形式（実の場合）あるいはエルミート半双線型形式（複素の場合）のことである。二つのベクトルに対してある数（スカラー）を定める演算であるためスカラー積（スカラーせき、scalar product）ともいう。内積を備えるベクトル空間は内積空間と呼ばれ、内積の定める計量を持つ幾何学的な空間と見做される。エルミート半双線型形式の意味での内積はしばしば、エルミート内積またはユニタリ内積と呼ばれる。 == 定義 == 複素数体 C 上のベクトル空間 ''V'' に対して、写像 が * 第二変数に関する線型性: ⟨''x'', α''y'' + ''z''⟩ = α⟨''x'', ''y''⟩ + ⟨''x'', ''z''⟩ * エルミート対称性: ⟨''x'', ''y''⟩ = を満たす（ここで上付きのバー は複素共役を表す）とき、対称半双線型形式 (''symmetric sesquilinear form'') あるいはエルミート半双線型形式（または単にエルミート形式）であるという。エルミート形式において、第一変数に関しては * 共軛線型性: ⟨α''x'' + ''y'', ''z''⟩ = ⟨''x'', ''z''⟩ + ⟨''y'', ''z''⟩ が成り立つから、エルミート形式は半双線型形式である。実ベクトル空間の場合には（複素共軛をとる操作は自明となるから）上記の条件は が対称双線型形式であることを意味するものになる。ベクトル空間 ''V'' とエルミート形式 との組 をエルミート空間と呼ぶこともある。 任意の有限次元複素ベクトル空間または複素ヒルベルト空間における内積は、 * 非退化性: ''V'' の元 ''x'' に対して ⟨''x'', ''x''⟩ = 0 ならば ''x'' = 0. * 正定値性: ''V'' の任意の元 ''x'' に対して ⟨''x'', ''x''⟩ ≥ 0. を満たす。即ち内積は非退化正定値エルミート形式である。 実ベクトル空間上の内積は非退化正定値対称双線型形式である。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「内積」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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