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アティヤ＝シンガーの指数定理(Atiyah–Singer index theorem)とは、スピンc多様体 の上の複素ベクトル束の間の楕円型微分作用素について、解析的指数と呼ばれる量と位相的指数と呼ばれる量とが等しいという定理である。解析的指数は与えられた楕円型微分作用素が定める偏微分方程式の解の次元を表す解析的な量であり、一方で位相的指数は微分作用素の主表象をもとにして多様体のコホモロジーを通じて定義される幾何的な量である。従って指数定理は解析学と幾何学という見かけ上異なった体系の間のつながりを与えているという意味で20世紀の微分幾何学における最も重要な定理ともいわれる。 本稿で述べる形の指数定理はマイケル・アティヤとイサドール・シンガーによって1963年に発表〔Atiyah, Michael F. and Singer, Isadore M., ''The Index of Elliptic Operators on Compact Manifolds'', Bull. Amer. Math. Soc. 69, 322-433, 1963.〕され、1968年に証明〔Atiyah, Michael F. and Singer, Isadore M., ''The Index of Elliptic Operators I'' Ann. Math. 87, 484-530, 1968. K理論を用いた指数定理の証明 〕 〔M. F. Atiyah; G. B. Segal ''The Index of Elliptic Operators: II'' The Annals of Mathematics 2nd Ser., Vol. 87, No. 3 (May, 1968), pp. 531-545〕が刊行された。指数定理の特別な場合として、以前から知られていたやヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理（のリーマン・ロッホの定理）などが含まれていると理解できる。さらに、1950年代の終わりに得られていた（グロタンディークのリーマン・ロッホの定理）はこの定理の定式化に大きな影響を与えたとされ、グロタンディークが代数多様体に対して用いたK理論の構成を微分多様体に対して実行することが指数定理の定式化・証明における重要なステップをなしている。またアティヤ-シンガーによる枠組みの一般化として群が作用している場合や、楕円型微分作用素を持つ多様体が、ある多様体によってパラメーター付けされた族として与えられている場合、葉層構造によってパラメーター付けが与えられている場合などに指数定理が一般化されている。 この定理の研究から、アティヤとシンガーは2004年にアーベル賞を受賞した。 == 楕円型微分作用素 == ''n'' 変数 ''x''1, ..., ''x''''n''に関する 高々''p'' 階の偏微分作用素 が与えられたとき、各 k について ''x''''k''に関する偏微分作用素を新たな変数 ''y''''k''に置き換えることで、2 ''n'' 個の変数''x''1, ..., ''x''''n'', ''y''1, ..., ''y''''n'' ついての関数 が得られる。これは ''D'' の表象 (symbol) と呼ばれる。また、''y''変数に関する最高次の部分 は ''D'' の主表象 (principal symbol) と呼ばれる。''y'' 座標がすべて 0 でない限り主表象が 0 にならないような作用素 ''D'' は楕円型と呼ばれる。 一般に''x'' に関する座標変換の下での偏微分作用素の変換規則はジェットベクトルの変換則になり、低次の項まで含めた表象に対する変換規則は複雑なものになるが、最高次の部分である主表象に関する変換則は共変ベクトルに関するものと同じになり、主表象は余接束上の関数と考えるのが幾何的に自然な解釈となる。従って ''D'' が一般の多様体の上でベクトル束の切断の間の擬微分作用素として定義されている場合にも楕円型作用素の定義は意味を持つ。多様体 ''M'' とその上の楕円型微分作用素 ''D''について ''D''の主表象 σ(''D'') は余接束の全空間 T *''M'' の K群 K0(T *''M'') の元を表していると見なすことができる。 楕円型微分作用素の例としてディラック作用素、符号作用素、複素多様体上の正則ベクトル束から定まるドルボー作用素などが挙げられる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「アティヤ＝シンガーの指数定理」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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