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数学における σ-集合環（シグマしゅうごうかん、）あるいは σ-環は、σ-集合代数（あるいはトライブ〔σ-集合環のことをトライブ (tribe) と呼ぶものもある。 の p.15 の注〕）より少し一般の定義を持つ集合族で、今日では σ-集合代数によって展開されることの多い測度論は、σ-集合環を用いて定式化することもできる。 == 定義、例、性質 == ; 定義 : 集合 ''X'' 上の σ-集合環とは、可算合併に関して閉じている集合環を言う〔σ-集合環の定義は測度論の形成において遍在している。例えば 〕 * 任意の σ-集合代数は σ-集合環である。集合代数が全体集合 ''X'' を含む集合環であったと同様に、σ-集合代数は全体集合 ''X'' を含む σ-集合環を言う。 * 有限集合上の集合環は σ-集合環になる。集合代数を成さない有限集合上の集合環は、σ-集合代数でない σ-集合環の例を与える。例えば二元集合 の集合環 は σ-集合環だが σ-集合代数でない。 * 任意の集合 ''X'' 上の高々可算な部分集合全体の成す族 Ρ は σ-集合環であり、これが生成する σ-集合代数 Σ はで与えられる。''X'' が非可算無限集合ならば、Ρ は Σ に真に含まれ、Ρ は σ-集合代数ではない σ-集合環の例を与える。 * ブール環と見て、集合代数は交叉に関する単位元を持つ。より一般の集合環は（特に σ-集合環は）、上記 の例のように単位元を持つものもあれば、次の例のように単位元を持たないものもある。集合環 Τ が交叉に関する単位元を持つ必要十分条件がであることを見るのは易しい。''X'' 上の σ-集合環が交叉に関する単位元 ''Y'' を持てば、実は ''Y'' 上の σ-集合代数になる。〔この注意については に単位元の存在が、また Halmos, ''op. cit.'', p. 73, に σ-集合環の元の和についての条件が書かれている。〕。 * 任意の σ-集合環は δ-集合環である〔, exercice 3.2.1, p. 69〕が逆は真ではない（δ-集合環の項を参照）。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「Σ集合環」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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