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黄金率 : ミニ英和和英辞書
黄金率[おうごんりつ]
(n) golden mean
===========================
: [き]
 【名詞】 1. yellow 
黄金 : [おうごん, こがね]
  1. (n,adj-no) gold 
黄金率 : [おうごんりつ]
 (n) golden mean
: [きん]
  1. (n,n-suf) (1) gold 2. (2) gold general (shogi) (abbr) 
黄金率 ( リダイレクト:黄金比 ) : ウィキペディア日本語版
黄金比[おうごんひ]

黄金比(おうごんひ、)は、
:1 : \frac
である。近似値は1:1.618、約5:8。
線分を ''a'', ''b'' の長さで 2 つに分割するときに、''a'' : ''b'' = ''b'' : (''a'' + ''b'') が成り立つように分割したときの比 ''a'' : ''b'' のことであり、最も美しい比とされる。貴金属比の1つ(第1貴金属比)。
黄金比において
:\frac
は、二次方程式 ''x''2 - ''x'' - 1 = 0 の正のであり、これを黄金数(おうごんすう、)という。しばしばギリシア文字φ(ファイ)で表されるが、τ(タウ)を用いる場合もある。
:\phi = \frac = 1.6180339887\ldots
黄金数には,次のような性質がある。
:\phi^2 = \phi + 1 \ \ = 2.6180339887\ldots
:1/\phi = \phi - 1 \, = 0.6180339887\ldots
黄金比は中末比(ちゅうまつひ)や外中比(がいちゅうひ)とも呼ばれる。''a'' : ''b'' = ''b'' : (''a'' + ''b'') が成り立つとき、''a'' を末項(まっこう)、''b'' を中項(ちゅうこう)という。
== 性質 ==

: : 1 = 1 : = :
上式を小数の近似値で表示すると、0.618 : 1 ≒ 1 : 1.618 ≒ 1.618 : 2.618 となる。

黄金数は次のような美しい連分数表示をもつ。
:\phi = 1 + \cfrac =
次のような表示ももつ。
:\phi^ = 1, 1, 1, \ldots = 0 + \cfrac
:\phi^ = \phi -1 = \frac = 0.6180339887\ldots\,
:\phi = \sqrt
:\phi = \frac+\sum_^\frac
三角関数を使うと次のように表すことができる。
:\phi = 2\cos=2\cos 36^\circ
:\phi = 2\sin=2\sin 54^\circ
:\phi = -2\sin(666^\circ)
:\phi = 1+2\sin = 1 + 2\sin 18^\circ
:\phi = 1+2\cos = 1 + 2\cos 72^\circ
:\phi = \csc = \csc 18^\circ
:\phi^ = 2\sin = 2\sin 18^\circ
:\phi^ = 2\cos = 2\cos 72^\circ
指数関数を使うと次のように表すことができる。
:\phi = e^ + e^
フィボナッチ数列の隣り合う 2 項の比は黄金比に収束する。また、 1, φ, φ2, φ3, φ4, ... という等比数列を考えたとき、1 + φ = φ2 を利用すると
:φ = φ,
2 = φ + 1,
3 = 2φ + 1,
4 = 3φ + 2,
5 = 5φ + 3,
6 = 8φ + 5,
:...
となり、係数にフィボナッチ数列が出現する。フィボナッチ数列の第 n 項を Fn とすると、φn は次のようになる。
n = Fnφ + Fn-1
直径の比が、
: : 1 :
である3つの円が互いに外接する時、その3つの円の全てに外接する円を2つ描くことが出来る。
それらを合わせた5つの円の直径の比は、
: ()^2 : : 1 : : ()^2
である。
黄金比で長さを分けることを黄金比分割または黄金分割という。
幾何学的には正五角形五芒星(星形:☆)から容易に得ることができる。正五角形の一辺と対角線の比、五芒星を構成する線分と頂点を結ぶ線分の比は、黄金比となる。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
ウィキペディアで「黄金比」の詳細全文を読む

英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Golden ratio 」があります。




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