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米田の補題（よねだのほだい、）とは、小さなhom集合をもつ圏 C について、共変hom関手 hom(A, -) : C → Set から集合値関手 F : C → Set への自然変換と、集合である対象 F(A) の要素との間に一対一対応が存在するという定理である。名称は米田信夫に因む。 ==概要== 局所的に小さい（locally small）圏を C とする、すなわち各対象 A, B に対して hom(A, B) は集合であるとする。対象Aを固定するとき、C の各対象 B に対して集合（Set の対象）hom(A,B) を割り当てる関数は、C から Set への関手の対象関数として考えることができる。この関手は大抵 hA = hom(A, -) : C → Set と表記され、共変hom関手（covariant hom functor）と呼ばれる。 ここで、 F : C → Set を任意の集合値関手とし、hA から F へのすべての自然変換 θ : hA F のクラス〔これはゲーデル-ベルナイス集合論の意味でのクラスである。〕 Nat(hA, F) 〔逆向きの Nat(F, hA) に関する定理は余米田の補題と呼ばれる。〕について考える。 米田の補題の骨子は、射 hA(f) = hom(A, f) : hom(A, A) → hom(A, B) の恒等射 1A に対する特性 :hom(A, f)1A ＝ f である。 θ は自然変換であるので、対象 A において自然である。 すなわち、各対象 B への各射 f : A → B すべてに対して、自然性条件 :θB・hA(f) = F(f)・θA が成り立つ。両辺を 1A に作用させるると、 :（左辺）= (θB・hA(f))1A = θB(hA(f)1A) = θB(f) :（右辺）= (F(f)・θA)1A = F(f)θA(1A) となる。したがって、各対象Bについて、 :θB(f) = F(f)θA(1A) となる。これは、任意の（C の射かつ Set の対象の要素である） f ∈ hom(A, B) = hA(B) に対して成り立つ。つまり θA(1A) は 各コンポーネント θB : hA(B) → F(B) を定め、自然変換 θ は要素 θA(1A) ∈ F(A) から完全に決定されることがわかる。また明らかに、θ ∈ Nat(hA, F) は、対象 A における自然変換のコンポーネント θA の恒等射 1A における値 θA(1A) ∈ F(A) を定める。 すなわち、全単射 :y:Nat(hA, F) ≅ F(A) が存在する。この y は米田写像（Yoneda map）と呼ばれる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「米田の補題」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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