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ホモロジー代数において、完全関手とは完全列を保存する関手のことをいう。完全関手は対象の表現にそのまま適用できるため便利である。ホモロジー代数の多くの研究は、完全関手にはならないがその''不完全さ''を制御できる関手を扱うためのものである。 == 定義 == ''P''と''Q''をアーベル圏とし、''F'': ''P''→''Q''を共変加法的関手(すなわち、とくに、''F(0)=0''である)とする。 :''0''→''A''→''B''→''C''→''0'' を''P''の対象からなる短完全列とする。 このとき、''F''は * ''F(A)''→''F(B)''→''F(C)'' が完全列となるとき半完全という。これはの概念と似ている。 * ''0''→''F(A)''→''F(B)''→''F(C)'' が完全列となるとき左完全という。 * ''F(A)''→''F(B)''→''F(C)''→''0'' が完全列となるとき右完全という。 * ''0''→''F(A)''→''F(B)''→''F(C)''→''0'' が完全列となるとき完全という。 ''G''が''P''から''Q''への反変加法的関手であるときも同様の定義が可能であり、''G''は * ''G(C)''→''G(B)''→''G(A)'' が完全列となるとき半完全という。 * ''0''→''G(C)''→''G(B)''→''G(A)'' が完全列となるとき左完全という。 * ''G(C)''→''G(B)''→''G(A)''→''0'' が完全列となるとき右完全という。 * ''0''→''G(C)''→''G(B)''→''G(A)''→''0'' が完全列となるとき完全という。 完全列が保存されるためには、''0''→''A''→''B''→''C''→''0'' が短完全列であること全てを考える必要はなくて、一部が完全であることだけが必要である。以下は全て上の定義と同値となる。 * ''0''→''A''→''B''→''C'' が完全列であるならば ''0''→''F(A)''→''F(B)''→''F(C)'' も完全列となるとき、''F''は左完全であるという。 * ''A''→''B''→''C''→''0'' が完全列であるならば ''F(A)''→''F(B)''→''F(C)''→''0'' も完全列となるとき、''F''は右完全であるという。 * ''A''→''B''→''C'' が完全列であるならば ''F(A)''→''F(B)''→''F(C)'' も完全列となるとき、''F''は完全であるという。 * ''A''→''B''→''C''→''0'' が完全列であるならば ''0''→''G(C)''→''G(B)''→''G(A)'' も完全列となるとき、''G''は左完全であるという。 * ''0''→''A''→''B''→''C'' が完全列であるならば ''G(C)''→''G(B)''→''G(A)''→''0'' も完全列となるとき、''G''は右完全であるという。 * ''A''→''B''→''C'' が完全列であるならば ''G(C)''→''G(B)''→''G(A)'' も完全列となるとき、''G''は完全であるという。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「完全関手」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Exact functor 」があります。 スポンサード リンク
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