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中間値の定理（ちゅうかんちのていり）とは、実数の区間の連結性に関する以下のような存在型の定理である： 実数直線 R の閉区間 ''I'' = ''b'' 上で定義される連続な実数値関数 ''f'' が ''f''(''a'') < ''f''(''b'') を満たすとき、閉区間 ''f''(''b'') 内の任意の点 γ に対して、γ = ''f''(''c'') となる ''I'' 内の点 ''c'' が存在する。 直感的には、平面上に異なる2点をとり、適当にこの2点を結ぶ連続な曲線を描く。そしてこの2点の位置関係が互いに反対側になるように直線を引いたとき、その曲線と直線とがどこかで必ず交点を持つ、ということに相当している。 ある種自明のように思われるが、これは実数の閉区間が連結であり、その連続像が再び閉区間したがって連結となること（一般に連結な位相空間の連続写像による像はやはり連結である）から成り立つ定理である。 尚、「任意の閉区間が連結である」事と「実数の連続性が成立する」事は同値であり（例えば 有理数体上ではは連結でない）、中間値の定理自体も結局は実数の連続性と 同値である。 == 証明 == 概略のみ述べる。必要な事実は # 通常の位相に関して実数の閉区間は連結な位相空間である。 # 連結空間の連続像は連結である。 の二つだけである（この事実はここでは認めて話を進めることにする）。 いま、定理の仮定を満たす関数 ''f'' について Im(''f'') = とおく。また、''f''(''a'') < γ < ''f''(''b'') とする（どちらかの点に一致するときは定理は自明である）。このとき ''U'' = と ''V'' = とおくと、''f''(''a'') ∈ ''U'', ''f''(''b'') ∈ ''V'' だから、''U'', ''V'' は何れも空集合でなく、しかも互いに共通部分をもたない Im(''f'') 内の開集合である。 ここでもし γ が Im(''f'') に属さないならば、''U'' と ''V'' は Im(''f'') を被覆する。しかしこれは上で述べた二つの事実から Im(''f'') が連結であることに矛盾する。ゆえに γ ∈ Im(''f'') すなわち適当な ''c'' ∈ ''I'' が存在して γ = ''f''(''c'') となる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「中間値の定理」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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