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翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク ラックス・ペア ： ミニ英和和英辞書 ラックス・ペア ===================================== 〔語彙分解〕的な部分一致の検索結果は以下の通りです。 ラックス・ペア ： ウィキペディア日本語版 ラックス・ペア ラックス・ペア ()は、数学の可積分系の理論における用語であり、ある微分方程式 (時刻発展型偏微分方程式) がラックス方程式を用いて書き換え可能な場合に、その中で使われる時刻に依存する作用素の対を指す。このような場合、元の微分方程式は、そのラックス・ペアを持つと表現される。これらはアメリカ合衆国の数学者であるピーター・ラックスによって連続媒体中の解を論ずるために導入された。時刻発展型偏微分方程式をラックス方程式で書き換えることにより、を用いて微分方程式の解を求めることができるようになる。この方法により、従来の方法では解くことができなかった多数の非線形時刻発展型偏微分方程式の厳密解が得られており、それらは、ほとんどの場合ソリトン解を持つことが知られている。'')は、数学の可積分系の理論における用語であり、ある微分方程式 (時刻発展型偏微分方程式) がラックス方程式を用いて書き換え可能な場合に、その中で使われる時刻に依存する作用素の対を指す。このような場合、元の微分方程式は、そのラックス・ペアを持つと表現される。これらはアメリカ合衆国の数学者であるピーター・ラックスによって連続媒体中の解を論ずるために導入された。時刻発展型偏微分方程式をラックス方程式で書き換えることにより、を用いて微分方程式の解を求めることができるようになる。この方法により、従来の方法では解くことができなかった多数の非線形時刻発展型偏微分方程式の厳密解が得られており、それらは、ほとんどの場合ソリトン解を持つことが知られている。 ==定義== 1組のラックス・ペア ''L(t)'' 、''A(t)'' は、あるヒルベルト空間 $\backslash mathbb$に作用する、時刻 ''t'' に依存する作用素で、次のラックス方程式を満たすものである。 :$\backslash frac\; =$\ ここで $$ = AL - LA は 交換子である。 ラックス方程式を微分方程式の解法に用いる場合、$\backslash mathbb$ は通常は関数空間である。以後その空間方向の独立変数を ''x'' で表すことにする。 ''x'' は1次元の場合も、もっと多次元の場合も有り得る。$\backslash mathbb$ を時刻''t'' の定義域とする場合、$\backslash mathbb$ から $\backslash mathbb$ への写像を考えて、それを $\backslash psi(t)$ などと表すことにする。個々の''t'' ごとに$\backslash psi(t)$ は$\backslash mathbb$ の元であり、変数''x'' の関数でもある。このため $\backslash psi$ を''t''、''x'' の関数と考えて $\backslash psi(t,x\; )$ と表すことも有り得ることにする。 ''L(t)'' 、''A(t)'' も、実際には ''x'' の関数でもあるので、同様に ''L(t,x)'' 、''A(t,x)'' と表すことも、あるいは ''t'' も ''x'' も省略して ''L'' 、''A'' と表すことも有り得ることにする。ラックス方程式の左辺で偏微分記号を用いているのは、時刻による微分であることをはっきりさせるためである。 また、 ''L'' と ''A'' は決定すべき未知関数 ''u(t,x)'' を内部に含み、''u'' がある微分方程式を満たすことが、ラックス方程式が成立する条件となる。この場合、''u'' についてのその微分方程式がラックス方程式で書き換えられたと呼ぶのである。 左辺の時刻微分について注意しておく。これは作用素の時刻微分であり、次のように定義される。 :$\backslash frac\; =\; \backslash lim\_\; \backslash frac$ ''u'' が ''x'' のみの関数であれば、時刻と共に変動しないので、当然その時刻微分は 0 である。これと同様に、$\backslash frac$ あるいは $\backslash frac$ は時刻と共に変動しない作用素であり、その時刻微分は 0 である。 ''L(t)'' 、''A(t)'' は、$\backslash mathbb$ のスカラー体の上の任意の時刻関数 (これを$\backslash lambda(t)$ とする) と交換する。つまり、 :$$ = = 0\ である。これは ''L(t)'' 、''A(t)'' が時刻微分作用素 $\backslash frac$ をその内部に含んでいないことを意味する (これが、''L(t)'' 、''A(t)'' は $\backslash mathbb$ に作用するという表現の暗黙的な意味である。 $\backslash frac$ は $\backslash mathbb$ への作用素ではなく、 $\backslash mathbb\backslash times\backslash mathbb$ への作用素である)。 ラックス方程式の形式は不変のままで ''L'' 、''A'' の形式を変えることにより、未知関数 ''u'' が満たすべき微分方程式を様々な形式に変化させることができる。下記の例のように、ラックス方程式から導かれる微分方程式は大抵の場合、非線形偏微分方程式となる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ラックス・ペア」の詳細全文を読む スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. All Rights Reserved.