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双曲線 : ウィキペディア日本語版
双曲線[そうきょくせん]

双曲線(そうきょくせん、:hyperbola)とは、2次元ユークリッド空間 R2 上で定義され、ある2点 P , Q からの距離の差が一定であるような曲線の総称である。この P , Q は焦点と呼ばれる。双曲線は、次の陰関数曲線の直交変換によって決定することができる。
:\frac - \frac = 1 \quad (
*)
この場合、焦点の座標は
:P(-\sqrt,0) \ , \ Q(\sqrt,0)
と書ける。このとき、2焦点から曲線への距離の差は 2''a'' となる。また、双曲線には 2 つの漸近線が存在しており、
:bx+ay = 0 \ , \ bx-ay = 0
である。漸近線が直交している、すなわち ''a''=''b'' であるとき、この双曲線を特に直角双曲線と呼んだりする。
反比例のグラフxy = Cも双曲線の一種である。これは、直角双曲線:a^2-b^2=2C を直交変換によって \pi/4 だけ回転させた双曲線に等しい。
双曲線は、双曲線関数を用いて媒介変数表示することができる。
:
\begin
x = \pm a \cosh t \\
y = b \sinh t
\end

==円錐曲線としての双曲線==

離心率が ''e'' であるような円錐曲線を C''e'' とする。このとき、''e'' > 1 であれば、 C''e'' は双曲線となる。この円錐曲線を適当に直交変換することにより、準線が ''x'' = -''f'' , 焦点の一つが P = (''f'',0) となったとする。双曲線の任意の点 T = (''x'',''y'') に対し、方程式
:e(x-f) = d(P,T)
が成立するが、d(P,T) = \sqrt となるから、上方程式の両辺を2乗して移項整理することにより、
:x^2 + 2 \left( \frac \right) fx - \frac = -f^2
さらに ''x'' に関して平方完成させることにより、
:\left(x+\left(\frac\right)f \right)^2 - \frac = \left(\fracf \right)^2
これが、円錐曲線としての双曲線の基本形である。さらに直交変換:X = x + \frac f , Y=''y'' を行って適当に整理することによって、(
*) の形になる。
また、双曲線は、円錐を底面を通る軸に平行でない面で切断したときの、切断面の境界である。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
ウィキペディアで「双曲線」の詳細全文を読む



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