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数学、とくに環論においてクルルの定理 (Krull's theorem)とは、零環でない環〔この記事では環は単位元1を持つものとする。〕は少なくとも1つの極大イデアルを持つという定理である。1929年にヴォルフガング・クルル (Wolfgang Krull) によって超限帰納法を用いて証明された。この定理はツォルンの補題を用いると簡単に証明できるが、実際はツォルンの補題（そして選択公理と）と同値である。 == 変種 == * 非可換環における極大左イデアルと極大右イデアルに対しても同様の定理が成り立つ。 * 擬環におけるに対して定理が成り立つ。 * 同様の方法で証明できるわずかに強い（しかし同値な）結果は次のようなものである： :::''R'' を環とし、''I'' を ''R'' の真のイデアルとする。このとき ''I'' を含む ''R'' の極大イデアルが存在する。 :この結果において ''I'' として零イデアル (0) を取れば元の定理を得る。逆に、元の定理を ''R''/''I'' に適用すればこの結果が導かれる。 :この結果を直接証明するには、''I'' を含む ''R'' のすべての真のイデアルからなる集合 ''S'' を考える。集合 ''S'' は ''I'' ∈ ''S'' であるから空でない。さらに、''S'' の任意の鎖 ''T'' に対して、''T'' のイデアルの和集合は再びイデアル ''J'' であり、1 を含まないイデアルの和集合は 1 を含まないから、''J'' ∈ ''S'' である。ツォルンの補題によって、''S'' は極大元 ''M'' を持つ。この ''M'' は ''I'' を含む極大イデアルである。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「クルルの定理」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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