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P進付値 : ウィキペディア日本語版
P進付値

''p''-進付値(ぴーしんふち、)とは、数学において、素数 ''p'' に対して有理数体あるいは ''p''-進数体に定義される付値の一種である。''p''-進付値は ''p''-進距離と呼ばれる距離を定める。
有理数 ''x'' に対して、負の指数を許した次のような素因数分解
:x = \mathrm(x) \cdot p_1^ p_2^ \cdots p_n^\quad(e_i\in\mathbb)
(''p''''i'' はそれぞれ異なる素数)を考えたときの ''e''''i'' が ''x'' の ''p''''i''-進付値である。ただし、sgn は符号関数'p''-進付値(ぴーしんふち、)とは、数学において、素数 ''p'' に対して有理数体あるいは ''p''-進数体に定義される付値の一種である。''p''-進付値は ''p''-進距離と呼ばれる距離を定める。
有理数 ''x'' に対して、負の指数を許した次のような素因数分解
:x = \mathrm(x) \cdot p_1^ p_2^ \cdots p_n^\quad(e_i\in\mathbb)
(''p''''i'' はそれぞれ異なる素数)を考えたときの ''e''''i'' が ''x'' の ''p''''i''-進付値である。ただし、sgn は符号関数
'p''-進付値(ぴーしんふち、)とは、数学において、素数 ''p'' に対して有理数体あるいは ''p''-進数体に定義される付値の一種である。''p''-進付値は ''p''-進距離と呼ばれる距離を定める。
有理数 ''x'' に対して、負の指数を許した次のような素因数分解
:x = \mathrm(x) \cdot p_1^ p_2^ \cdots p_n^\quad(e_i\in\mathbb)
(''p''''i'' はそれぞれ異なる素数)を考えたときの ''e''''i'' が ''x'' の ''p''''i''-進付値である。ただし、sgn は符号関数
== 定義 ==
素数 ''p'' をとる。0 でない任意の有理数 ''x'' に対し、次を満たすような整数 ''n'', ''a'', ''b'' が一意的に存在する。
# ''a'' と ''b'' と ''p'' はどの二つも互いに素
# ''a'' > 0、
# x = \frac\cdot p^n
すなわち、''n'' は ''x'' を割り切るような ''p''-冪のうちの最大の冪指数である。このとき、''n'' を ''x'' の ''p''-進付値 とよび、''n'' = ''v''''p''(''x'') などと表す。また、0 の付値は ∞ であると定める。''p''-進付値は ''x'' = lim''n''→∞ ''xn'' (''xn'' ∈ Q) に対し、
: v_p(x) = \lim_ v_p(x_n)
とおくことにより、有理数体 Q から ''p''-進数体 Q''p'' に延長される。これは次のようにも言い換えられる。つまり、環 ''R'' を有理整数環 Z の素数 ''p'' における局所化 Z(''p'')(あるいは ''p''-進整数環 Z''p'')とすると、''R'' の極大イデアル m は ''p'' の生成する単項イデアル (''p'') = ''p''Z(''p'')(あるいは ''p''Z''p'')であり、他の任意のイデアルは極大イデアルの冪 m''n'' = (''p''''n'') として得られることが確かめられるが、このことを用いて ''R'' の元 ''x'', ''y'' (''y'' ≠ 0) に対して
:v_p(x) := \inf\,
:v_p(x/y) := v_p(x) - v_p(y)
と定めた ''v''''p''
は ''p''-進付値を与えるのである。'p''-進付値 とよび、''n'' = ''v''''p''(''x'') などと表す。また、0 の付値は ∞ であると定める。''p''-進付値は ''x'' = lim''n''→∞ ''xn'' (''xn'' ∈ Q) に対し、
: v_p(x) = \lim_ v_p(x_n)
とおくことにより、有理数体
Q から ''p''-進数体 Q''p'' に延長される。これは次のようにも言い換えられる。つまり、環 ''R'' を有理整数環 Z の素数 ''p'' における局所化 Z(''p'')(あるいは ''p''-進整数環 Z''p'')とすると、''R'' の極大イデアル m は ''p'' の生成する単項イデアル (''p'') = ''p''Z(''p'')(あるいは ''p''Z''p'')であり、他の任意のイデアルは極大イデアルの冪 m''n'' = (''p''''n'') として得られることが確かめられるが、このことを用いて ''R'' の元 ''x'', ''y'' (''y'' ≠ 0) に対して
:v_p(x) := \inf\,
:v_p(x/y) := v_p(x) - v_p(y)
と定めた ''v''''p''
は ''p''-進付値を与えるのである。
m''n'' = (''p''''n'') として得られることが確かめられるが、このことを用いて ''R'' の元 ''x'', ''y'' (''y'' ≠ 0) に対して
:v_p(x) := \inf\,
:v_p(x/y) := v_p(x) - v_p(y)
と定めた ''v''''p''
は ''p''-進付値を与えるのである。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
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