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数学において、二項関係が整礎（せいそ、）であるとは、真の無限降下列をもたないことである。 == 定義 == 集合あるいはクラス ''X'' 上の二項関係 ''R'' が整礎であるとは、''X'' の空でない任意の部分集合 ''S'' が ''R'' に関する極小元を持つことをいう。（関係 ''R'' がさらに集合的であることを仮定する著者もいる。''X'' が集合であればこれは自動的に成り立つ。）つまり、''S'' の元 ''m'' であって、''S'' の任意の元 ''s'' に対して対 (''s'', ''m'') は ''R'' に属さないようなものが存在する。式で書けば : ''X'' が集合であるとき、（これは選択公理よりも真に弱く可算選択公理よりも真に強い）を仮定すれば、同値な定義として、関係が整礎であることを可算無限降下列が存在しないこととして定められる。つまり、''X'' の元の無限列 ''x''0, ''x''1, ''x''2, ... で、どんな ''n'' についても ''x''''n''+1 ''R'' ''x''''n'' となるようなものはとれない。 では、半順序に対応する真の順序 (strict partial order) が整礎関係となるとき、その半順序を整礎（整礎半順序）と呼ぶ。全順序がこの意味で整礎であるとき、整列順序と呼ぶ。 集合 ''x'' が整礎的集合 であることは、∈ が ''x'' の推移閉包上で整礎関係となることと同値である。ZF における公理のひとつである正則性の公理は、全ての集合が整礎であることを要請するものである。 関係 ''R'' が ''X'' 上で逆整礎 または上方整礎 であるとは、''R'' の逆関係 ''R''−1 が ''X'' 上の整礎関係であるときにいう。このとき ''R'' は昇鎖条件を満たすという。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「整礎関係」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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