加群 ''M'' の半単純成分 () あるい……"> 半単純成分 について
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半単純成分 : ミニ英和和英辞書
半単純成分[はんたんじゅんせいぶん]
=====================================
〔語彙分解〕的な部分一致の検索結果は以下の通りです。

: [はん]
  1. (n,n-adv,n-suf,n-pref) half 
: [ひとえ, たん]
 【名詞】 1. one layer 2. single 
単純 : [たんじゅん]
  1. (adj-na,n) simplicity 
: [じゅん]
  1. (adj-na,n) pure 2. innocent 3. chaste 
成分 : [せいぶん]
 【名詞】1. ingredient 2. component 3. composition
: [ぶん, ふん]
  1. (n,n-suf,pref) (1) part 2. segment 3. share 4. ration 5. (2) rate 6. (3) degree 7. one's lot 8. one's status 9. relation 10. duty 1 1. kind 12. lot 13. (4) in proportion to 14. just as much as 1

半単純成分 : ウィキペディア日本語版
半単純成分[はんたんじゅんせいぶん]

加群論環論の文脈において、 ''R'' 上の加群 ''M'' の半単純成分 () あるいは台〔可換環論においても加群の台 (support) という用語がある。〕または底とは、''M'' のすべての(非零)極小部分加群の和と定義される。これは加群の根基のと考えることができる。集合の記号で書けば
:soc(''M'') = Σ .
同じことであるが
:soc(''M'') = ∩ .
''R'' の半単純成分は環の2つの集合の一方を指す。''R'' を右 ''R'' 加群と考えて soc(''R''''R'') が定義され、''R'' を左 ''R'' 加群と考えて soc(''R''''R'') が定義される。これらの半単純成分はいずれも両側イデアルであるが、一致するとは限らないことが知られている。
==性質==

* ''M'' がアルティン加群であれば、soc(''M'') はそれ自身 ''M'' の本質部分加群である。
* 加群が半単純であることと soc(''M'') = ''M'' であることは同値である。すべての ''M'' に対してsoc(''M'') = ''M'' であるような環はちょうど半単純環である。
* ''M'' が有限余生成加群であることと soc(''M'') が有限生成かつ soc(''M'') が ''M'' の本質部分加群であることは同値である。
* 半単純加群の和は半単純であるから、加群の半単純成分は唯一の極大半単純部分加群としても定義できる。
* rad(''R'') の定義から、rad(''R'') は soc(''R'') を零化することを確かめるのは易しい。''R'' がアルティン環であり ''M'' が ''R'' 加群であれば、半単純成分 soc(''M'') はちょうど ''R'' のジャコブソン根基によって零化される元全体からなる。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
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