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数学において、位相空間がσコンパクト (σ-compact) であるとは、可算個のコンパクト部分空間の合併であることをいう〔Steen, p. 19; Willard, p. 126.〕 。 空間がσ局所コンパクト (σ-locally compact) であるとは、σコンパクトかつ局所コンパクトであることをいう〔Steen, p. 21.〕。 == 性質と例 == * すべてのコンパクト空間はσコンパクトであり、すべてのσコンパクト空間はリンデレーフ空間である（すなわちすべての開被覆は可算部分被覆を持つ）〔Steen, p. 19.〕。逆は成り立たない。例えば、標準的なユークリッド空間 (R''n'') はσコンパクトだがコンパクトでなく〔Steen, p. 56.〕、実数直線上のはリンデレーフだが σ コンパクトでない〔Steen, pp. 75–76.〕。実は、はリンデレーフだがσコンパクトでも局所コンパクトでもない〔Steen, p. 50.〕。 *σコンパクトかつ局所コンパクトな空間はパラコンパクトである〔松島，p. 86.〕。とくに、多様体がσコンパクトならばパラコンパクトである〔松島，p. 88.〕。逆に、パラコンパクト多様体の連結成分の個数が高々可算個であればσコンパクトである〔松島，p. 88.〕。 *ハウスドルフベール空間がσコンパクトでもあれば少なくとも1点で局所コンパクトでなければならない。 * ''G'' が位相群で ''G'' が1点で局所コンパクトであれば、''G'' はすべての点で局所コンパクトである。したがって、直前の性質より、''G'' がσコンパクトハウスドルフ位相群でベール空間でもあれば、''G'' は局所コンパクトである。これはハウスドルフ位相群がベール空間でもあればσコンパクト性から局所コンパクト性が従うことを示している。 * 直前の性質より例えば Rω はσコンパクトでない。なぜならば、仮にσコンパクトとすると、Rω は位相群であってベール空間でもあるから、局所コンパクトでなければならない。 * すべてのはσコンパクトである〔Willard, p. 126.〕。しかしながら、逆は正しくない〔Willard, p. 126.〕。例えば、有理数全体からなる空間に通常の位相を入れると σ コンパクトだが半コンパクトではない。 * σコンパクト空間の有限個の積はσコンパクトである。しかしながら、σコンパクト空間の無限個の積はσコンパクトとは限らない〔Willard, p. 126.〕。 * σコンパクト空間 ''X'' が第二類(resp. ベール) であることと ''X'' が局所コンパクトであるような点の集合が ''X'' において空でない（resp. 稠密である）ことは同値である〔Willard, p. 188.〕。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「Σコンパクト空間」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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