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べき乗和の公式 : ウィキペディア日本語版
ファウルハーバーの公式[ふぁうるはーばーのこうしき]

ファウルハーバーの公式(ファウルハーバーのこうしき、Faulhaber's formula)は、最初の ''n'' 個の ''k'' 乗数の和
:S_k(n):=1^k+2^k+\dotsb+n^k
を、ベルヌーイ数を用いて ''n'' の多項式で表す公式である。冪乗和についての研究をした、17世紀のドイツの数学者の名が冠されているが、ベルヌーイ数を発見して初めて公式を与えたのは関孝和およびヤコブ・ベルヌーイである。「ファウルハーバーの公式」という呼称は必ずしも一般的ではなく、ベルヌーイの公式、または内容を直接的に表現して冪乗和の公式などと呼ばれることもある〔参考文献コンウェイ・ガイ『数の本』や MathWorld では「ファウルハーバーの公式」である。一方、日本では固有名詞のように呼ばれることは少なく、荒川・金子・伊吹山『ベルヌーイ数とゼータ関数』では「べき乗和の公式」である。〕。
== 公式 ==
ベルヌーイ数を定義するには複数の方法があるが、ここでは
:B_0=1,\quad \sum_^ (-1)^iB_i=0\quad (k=1,2,\cdots)
によって帰納的にベルヌーイ数 ''B''''j'' (''j'' = 0, 1, 2, …) を定める〔''B''1 = 1/2 となるようにベルヌーイ数を定義する流儀と、''B''1 = −1/2 となるように定義する流儀がある。ここでの定義は、関孝和と同様に前者である。MathWorld など、後者の流儀を採用している場合、冪乗和の公式も一見異なるもののように見えるかもしれないが、本質的に同じものである。〕。ここに、
:=\frac
二項係数である。
このとき、
:S_k(n)=\frac\sum_^k B_jn^ \quad (k=0,1,\cdots)
が成り立つ。特に、''S''''k''(''n'') を ''n'' の多項式で表したときの、最高次の項は ''n''''k''+1/(''k'' + 1)、一次の項は ''B''''k''''n''、定数項は 0 である。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
ウィキペディアで「ファウルハーバーの公式」の詳細全文を読む



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