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数学の一分野である圏論において、自然変換（しぜんへんかん、）は、ある函手をその圏に関する内部構造（即ち射の合成）を保ちながら別の函手に変形する方法を与えるものである。したがって直観的には、自然変換というのは「函手間の射」のことであると考えうる。このことは実際に、函手圏と呼ばれるものを定義することにより厳密に定式化することができる。圏論において自然変換の概念は、圏と函手に次いで最も基本的な概念であり、それ故に圏論を用いる議論の大部分に現れる。 == 定義 == ''F'' および ''G'' を圏 ''C'' から ''D'' への函手とするとき、''F'' から ''G'' への 自然変換 η は ''C'' に属する各対象 ''X'' に η の ''X'' における成分 (component) と呼ばれる ''D'' の射 η''X'': ''F''(''X'') → ''G''(''X'') を割り当てるものである。ただし η''X'' は、''C'' の任意の射 ''f'': ''X'' → ''Y'' に対して : を満たすものとする。この等式は可換図式として と書けば見易い。''F'' と ''G'' が共に反変のときは、図式内の水平方向の矢印を逆にすればよい。η が ''F'' から ''G'' への自然変換であることを、η: ''F'' → ''G'' や η: ''F'' ⇒ ''G'' などで表す。また、「射の族 η''X'': ''F''(''X'') → ''G''(''X'') は ''X'' で自然である」などとも言い表す。 ''C'' の各対象 ''X'' について射 η''X'' が ''D'' の同型射となるとき、η は自然同型（あるいは自然同値もしくは函手の同型）であるという。また、二つの函手 ''F'', ''G'' に対し、''F'' から ''G'' への自然同型が存在するとき、''F'' と ''G'' とは自然同型あるいは単に同型であるという。 図式の可換性を落として、単に射 η''X'': ''F''(''X'') → ''G''(''X'') の族を考えれば、''F'' から ''G'' への 劣自然変換 (infranatural transformation) η の概念が定まる。これを用いれば、自然変換とは任意の射 ''f'': ''X'' → ''Y'' に対して η''Y'' ∘ ''F''(''f'') = ''G''(''f'') ∘ η''X'' を満たすような劣自然変換ということになる。劣自然変換 η の自然化圏 (naturalizer) nat(η) とは、''C'' の対象を全て含み、その上に η を制限したものが自然変換となるような ''C'' の最大の部分圏をいう。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「自然変換」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Natural transformation 」があります。 スポンサード リンク
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