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カーブフィッティング : ミニ英和和英辞書
カーブフィッティング[かー]
=====================================
〔語彙分解〕的な部分一致の検索結果は以下の通りです。

カー : [かー]
 【名詞】 1. car 2. (n) car
: [ちょうおん]
 (n) long vowel mark (usually only used in katakana)

カーブフィッティング ( リダイレクト:曲線あてはめ ) : ウィキペディア日本語版
曲線あてはめ[きょくせんあてはめ]
曲線あてはめまたはカーブフィッティング()〔本間 仁,春日屋 伸昌「次元解析・最小二乗法と実験式」コロナ社(1989)〕〔加川 幸雄,霜山 竜一「入門数値解析」朝倉書店(2000)〕〔John R. Taylor、林 茂雄、 馬場 凉「計測における誤差解析入門 」東京化学同人(2000)〕〔吉沢 康和「新しい誤差論―実験データ解析法 」共立出版 (1989/10) 〕は、実験的に得られたデータまたは制約条件に最もよく当てはまるような曲線を求めること。最良あてはめ、曲線回帰とも。一般に内挿回帰分析を用いる。場合によっては外挿も用いる。回帰分析で曲線を求める場合、その曲線はデータ点を必ず通るわけではなく、曲線とデータ点群の距離が最小になるようにする。曲線あてはめによって得られた曲線を、近似曲線という。特に回帰分析を用いた場合には回帰曲線という。現実の実験データは直線的ではないことが多いため散布図、近似曲線を求める必要性は極めて高いが、統計学の教科書が数多くある中、理論的な解説をした成書が殆どない分野である。
== 一般論 ==

=== 最小二乗法による最適関数の推定 ===
我々が考えるべき問題は、実験データを実験を説明する「説明変数」と「目的変数」に分類した上で、説明変数\textbf と、目的変数yの関係
:y=g(\textbf)
を求めることである。説明変数としては測定条件を考えることが多く、目的変数としては、測定値を考えることが多い。説明変数、目的変数共にベクトル量である可能性があるが、測定値のほうは、多変数関数の微分が、値域側の成分に関して独立であることからスカラー量としても一般性を失わない。一方、多変数関数の微分は、定義域側の成分については独立でないため、一般論を述べる上ではベクトル量としておかなければならない。以下、測定条件は、k次元ベクトルの形で与えられているとする。成分で表記すると
:\textbf=\left(
\begin
x_1\\
\vdots\\
x_k\\
\end
\right)
となる。
実験データは、説明変数に関するデータ_1 ,\cdots ,\textbf_n
と目的変数に関するデータy_1 ,\cdots ,y_nの組、
(y_1 ,\textbf_1 ),\cdots ,(y_n ,\textbf_n) の形で得られる。また、j番目の測定条件 \textbf_i の第i成分を x_ で表すものとする。
我々が考えるべき問題は、適当な \alpha 個のパラメータ a_1, \cdots ,a_ と、k+ \alpha 変数の関数 f(\textbf, \textbf ) を考え、 \textbf の値を調整し
:S(\textbf )=\sum_^n |y_i -f(\textbf_j ,\textbf )|^2 ・・・・ (1-1)
を最小とするような、\textbf を求める問題に帰着される〔。このSの平方根 \sqrt のことを、「関数当てはめ時の誤差」という。ここで
:=\left(
\begin
a_1\\
\vdots\\
a_\\
\end
\right)
のことを、フィッティングパラメータと言う。また、関数Sを考えるときには (y_1 ,\textbf_1 ),\cdots ,(y_n ,\textbf_n ) は、もはや定数ベクトルでしかないことに注意されたい。飽くまで関数Sの変数は a_1,\cdots a_ である。
尚、Sを定義するにあたり、各データに対して、適当な定数(正または0)w_1 ,\cdots , w_n によって重みを付け、
:S(\textbf )= \sum_^n w_j | y_i -f( \textbf_j , \textbf )|^2 ・・・・ (1-1')
のようにすることもある。この方法によって、y方向に誤差(Yエラーバー)がある場合や、「測定回数の異なるデータの平均」の比較が可能であるが、x方向にも誤差(Xエラーバー)がある場合には、対応できない。x方向にも誤差がある場合には、デミングの方法〔を用いる。尚、(1-1)は「(1-1')において、全てのデータの重みづけが等しい状況」を意味することに注意されたい。
我々が考えるべき問題は、、(1-1)あるいは(1-1')の関数Sの極値問題〔島 和久「多変数の微分積分学」近代科学社 (1991/09)〕に他ならない。一般に、極値問題は解を持たない可能性があり、また、解が存在したとして、重解の可能性もあるが、一般論として、以下の定理が知られている。
「もしも、\textbf_0 で、Sが極値をとるとすると、 S( \textbf_0 )=\textbf である。」
この定理は、最適なフィッティングパラメータに対する必要条件を与える。極小値を与えるような \textbf の十分条件としては、
「Sの \textbf におけるヘッセ行列正定値(正値, 正定符号)となること」〔
がある。無論、極小値が仮に存在したとして、それらが必ずしも最小であるとは限らない。例えば、最適な が無限遠に存在する可能性もある。
(1-1)のSを最小とするようなフッティングパラメータ \textbf_0 が得られた場合には、以下の g(\textbf) を、最適関数(xがスカラーの場合には、最適曲線)という。
:g( \textbf )=f( \textbf , \textbf_0 ) (1-2)
このgは、説明変数 \textbf と目的変数yの間に1つの関数関係を与えている。つまり、このgは、
\textbf とyの関数であり、フィッティングパラメータは定数ベクトルと考える。
一般には、「必ず (y,\textbf )=(0,\textbf ) を通る」といった付帯条件が付いている場合がある。このような場合には、ラグランジュの未定乗数法〔が最適なフィッティングパラメータを探る上で手掛かりを与える。
尚、付帯条件のある場合、ない場合共に、実際の数値計算では、Levenberg-Marquardt algorithm(レーベンバーグ・マルカート法)が用いられることが多い。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
ウィキペディアで「曲線あてはめ」の詳細全文を読む

英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Curve fitting 」があります。




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